Indefiniciones e indeterminaciones

Introducción

Es muy probable que te hayas topado con alguno de estos términos si estudias un nivel avanzado de cálculo diferencial o teoría de conjuntos y números, o posees un conocimiento considerablemente profundo sobre el comportamiento de ramas de las matemáticas o los constructos surgidos a partir de axiomas; no obstante, en caso de que nunca hayas escuchado estos conceptos, o te son familiares pero deseas cerciorarte de que tu noción sobre ellos sea correcta; ¡estás en el lugar correcto! En este espacio se describirán a continuación las definiciones de cada concepto y sus diferencias.

Indefinición

Como indica su nombre, una indefinición se da en términos matemáticos cuando no se conoce un posible resultado para un determinado ente matemático, una equivalencia a aquello; cuando no está definido en un sistema matemático dicho de la forma más concreta.

Ejemplos

• La raíz cuadrada de -1 no está definida en el conjunto de los números reales.
• Los logaritmos de base 1 y 0 no están definidos en la concepción normal de los logaritmos.
• En los sistemas axiomáticos convencionales de las matemáticas, la división sobre 0 no está definida.

División sobre cero

La división sobre 0 se trata de una operación en la que cualquier número distinto de 0 (pronto se verá por qué) es dividido sobre 0. Esta acción está indefinida en los sistemas axiomáticos usuales, puesto que, recurriendo a la definición de la división, se sabe que es el inverso de la multiplicación (esto quiere decir que, mediante despejes, es posible convertir una división en una multiplicación sin alterar el resultado original; por lo que es posible expresar que k/0 cuando "k" es distinto de 0, se puede transformar en 0xa=k, siendo "a" un número cualquiera y "k" distinto de 0); por lo que, si se aplica este dato, logramos conocer que 0 no puede ser multiplicado por número alguno tal que nos dé un número distinto de 0 (en otras palabras, es un elemento absorbente de la multiplicación [significa que se replica a sí mismo en el otro lado de la igualdad cuando se emplea ese operador con él]).

Gráfica racional de f(x)=1/x. Como es posible apreciar, no existe valor definido cuando x=0, solamente se poseen los límites verticales cuando x tiende a 0, ya sea por la izquierda o la derecha.

Indeterminación

Una indeterminación se da cuando no hay una convención sobre lo que significa "algo", sea la solución de un problema matemático, una expresión algebraica, etc. En otras palabras, una indeterminación es la incapacidad de un ente matemático de ser interpretado bajo un sistema axiomático determinado debido a sus infinitas interpretaciones, sus infinitas equivalencias, las cuales no son equivalentes entre sí. Todas estas indeterminaciones surgen de la existencia del 0 y el uso informal del infinito como un número (¡no, no es un número, es una propiedad, pero nunca un número!, aunque puede ser "representado" mediante uno).

Familia de indeterminaciones (indeterminaciones principales en matemáticas)

Diferencia entre indeterminación e indefinición

La prácticamente única diferencia entre la indeterminación y la indefinición, es que en la indeterminación existen infinitas interpretaciones, mientras que en la indefinición no se le puede asociar valor alguno al ente matemático. Por ejemplo, se puede aseverar que 0^0 es igual a e, y no habría una equivocación en un sentido estricto, pero no se puede decir lo mismo de 90000/0, pues no hay resultado alguno compatible.