Indecidibilidad o independencia

Introducción

¡Damas y caballeros, niños y niñas, público en general, les presento el acto final de este pequeño trabajo matemático-informático; con ustedes, la indecidibilidad lógica!

Dejando de lado esta extraña y demasiada informal narrativa, la independencia o indecidibilidad se refiere al caso más extremo de incertidumbre matemática, la cual consiste en la imposibilidad de que una serie de enunciados demuestre o refute un determinado enunciado. De manera un poco más formal, una oración es independiente o indecidible respecto a un conjunto de predicados, teoría o sistema lógico, si este no demuestra ni refuta la oración. La gran complejidad y profundidad de este concepto, que, a primera vista, se ve inofensivo; reside en la esencia misma de la realidad, del todo, puesto que, si analizamos profundamente el verdadero significado de independencia, eventualmente se llegará a la conclusión de que todo conocimiento, en último término, no está objetivamente fundamentado, solamente se basa en un principio indiscutible para el método por el que se obtuvo dicha información.

En otras palabras, nosotros nunca llegamos a tener certeza sobre el conocimiento que poseemos, únicamente creemos que es verdadero por nuestra confianza en el sistema mediante el cual se recopiló.

Ejemplos

El comportamiento de los puntos "vivos" en el famoso juego de la vida es indecidible; no existe forma de conocer si en algún momento estos se reducirán a 0 o se extenderá por siempre si posee un comportamiento dinámico.
La sentencia de Gödel (G), la cual establece su propia independencia lógica en términos aritméticos, pudiéndose traducir mediante la numeración de Gödel como "No existe una demostración o negación de G en T" ("T" representa cualquier teoría lógica capaz de expresar los axiomas de Peano y con potencial suficiente para ser considerada una teoría aritmética)
Aquel enunciado en un sistema axiomático aritmético que demuestre la consistencia del sistema (en esencia, indica que nunca se podrá conocer a ciencia cierta si un sistema axiomático de primer orden [prácticamente cualquier sistema axiomático capaz de describir de buena manera las matemáticas] se contradice o no).
La hipótesis del continuo (la original y la generalizada).