"Sin valores posibles en X conjunto" (P(X=/=R)=0)

Introducción

Si alguna vez has oído la tan molesta frase para casi cualquier matemático principiante curioso "No existe solución de [inserte aquí problema matemático] para el conjunto de los números [inserte aquí conjunto de números cualquiera]", con la cual se da por visto el ejercicio; ¡no te frustres! Sí, es un poco decepcionante que utilicen esto como una excusa para no seguir desarrollando el problema y explorar alternativas que, aunque tal vez se encuentren en conjuntos más complejos y requieran de procedimientos más sofisticados, representando la búsqueda de estos valores una tarea significativamente difícil; logren satisfacerlo (esto siempre y cuando las circunstancias lo permitan, pues debemos comprender que no en todas las ocasiones será posible examinar a fondo un tópico de cualquier naturaleza [¡sí!, incluso si no es de índole matemático o lógico], y eso está bien, no es siempre imprescindible llegar al fondo de las cosas, es parte esencial del aprendizaje y la realidad en general, y, al menos, a mi criterio, es también una de las más hermosas); pero, si no es utilizado de esta forma, casi siempre expresa resultados muy bellos sobre la cuestión que se trata con el ejercicio matemático, ya que, entre menos soluciones tenga (y en tanto sí llegue a tener y no sea solamente un problema con irresolubilidad trivial, porque, ¡sí!, tiene una belleza notable por el hecho de ser trivial, debido a que describe de cierta forma el comportamiento fundamental de la lógica y las matemáticas, pero eso refiere a otro asunto muy distinto al que se desea tratar en esta página), más preciado será (la valoración por escasez no solamente aplica para negocios, igualmente es útil en las matemáticas como se acaba de demostrar, ¡qué divertido!).

Ejemplos

• Uno de los ejemplos más icónicos que se pueden nombrar son algunas de las funciones polinomiales (específicamente las de grado par), las cuales pueden no tener solución dentro del conjunto de los números reales (pero sí dentro de los complejos [teorema fundamental del álgebra]), como ocurre con la función f(x)=x^2+1.

  

  Gráfica de f(x)=x^2+1

                                                                                            

Otro ejemplo son las ecuaciones diofánticas (que admite solo soluciones dentro del conjunto de los números enteros o N) sin soluciones posibles, las cuales son más comunes de lo que aparentan ser un inicio. Uno de los casos más importantes de este tipo de ecuaciones, es la ecuación diofántica que representa el último teorema de Fermat (no hay soluciones enteras para la igualdad x^n+y^n=z^n cuando n es un entero mayor que 2).

Pintura de diofanto, inventor de las ecuaciones diofánticas

Andrew Wiles, matemático que resolvió el último teorema de Fermat

Extra: introducción a los números complejos

Dado que casi siempre esto se da con conjuntos o subconjuntos de los números reales (nótese el mal chiste del título de esta entrada), encontrándose los resultados más relevantes en la extensión imaginaria de los números complejos (en especial en funciones polinómicas considerando, como se expresó antes, el teorema fundamental del álgebra); considero imperativo dar un pequeño repaso sobre este conjunto numérico tan importante para las matemáticas.

Estructura de los números complejos

Todo esto empieza con la necesidad de los matemáticos en el Renacimiento de resolver raíces cuadradas negativas, ya que, poco después del descubrimiento de la fórmula general para ecuaciones de tercer grado (aquellas de la forma: "ax^3+bx^2+cx+d=0"), se percataron que, si la igualdad poseía ciertas circunstancias, al sustituir los valores de la ecuación se generaban raíces con valores dentro del operador negativos. Debido a este problema, un reducido grupo de la comunidad matemática comenzó a concebir la posibilidad de la existencia de números equivalentes a estas raíces, aceptando de cierta forma que estos valores pueden existir en las matemáticas, aunque sea solamente para resolver este tipo de situaciones en las que se requería admitir su validez, pese a que fue minimizado por mucho tiempo por varios personajes destacados en dicho ámbito, como Descartes (de ahí que lleven en la actualidad el apodo de "imaginarios"). Eventualmente, al encontrar aplicaciones muy útiles en varios campos matemáticos y físicos (nótense como ejemplos la ingeniería y la mecánica cuántica), la comunidad científica y matemática poco a poco fue cambiando de postura sobre la validez de los números imaginarios como ente matemático formal, reconociendo su existencia y seriedad con el paso de los años, e incluso denominando a uno de ellos, la raíz de -1, con la letra "i" (notación de Euler).

Leonhard Euler, inventor de la notación "i" para la raíz cuadrada de -1

Actualmente, se tiene una versión muy generalizada del conjunto de los números complejos, siendo ahora una extensión de los números reales, y poseyendo diversas variantes, como los cuaterniones, y hasta su propio espacio: el espacio complejo (en 2 dimensiones, se llama "plano complejo"), el cual puede interpretarse de varias maneras, aunque la más convencional es mediante el cálculo o análisis matemático, y sus objetos teóricos, como las series de Taylor y el número de Euler, "e". Todo número complejo puede expresarse algebraicamente de la siguiente manera: ai+b, donde "a" y "b" son coeficientes reales y "i" es equivalente a la raíz cuadrada de -1. "ai" es la parte imaginaria del número y "b" la real.

Plano complejo